黎曼ζ函數

複平面中一矩形區域之黎曼ζ函數;此圖用Matplotlib程式繪圖產生,使用到定義域著色方法。[1]

黎曼ζ函數ζ(s)的定義如下:設一複數s,其實數部份> 1而且:

它亦可以用积分定义:

在区域{s : Re(s) > 1}上,此无穷级数收敛并为一全纯函数(其中Re表示复数的实部,下同)。欧拉在1740年考虑过s为正整数的情况,后来切比雪夫拓展到s>1。[2]波恩哈德·黎曼认识到:ζ函数可以通过解析开拓来扩展到一个定义在复数域(s, s≠ 1)上的全纯函数ζ(s)。这也是黎曼猜想所研究的函数。

虽然黎曼的ζ函数被数学家认为主要和“最纯”的数学领域数论相关,它也出现在应用统计学(参看齊夫定律(Zipf's Law)和齊夫-曼德爾布羅特定律英语Zipf–Mandelbrot law(Zipf-Mandelbrot Law))、物理,以及调音的数学理论中。